5.17. Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

Пусть диагональ AC проведена из вершины A ромба ABCD. Обозначим через h₁ и h₂ высоты, проведённые из A перпендикулярно прямым BC и CD соответственно.

1. В ромбе AB = AD и BC = CD, а AC — общая сторона треугольников ABC и ADC. Поэтому треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам.

2. Из равенства треугольников следует, что диагональ AC делит угол BAD пополам: ∠BAC = ∠CAD.

3. Так как BC параллельна AD, высота h₁ перпендикулярна AD. Так как CD параллельна AB, высота h₂ перпендикулярна AB.

4. Углы между AC и высотами h₁, h₂ равны углам между AC и соответствующими перпендикулярными им сторонами. Поскольку AC делит угол между сторонами пополам, она делит пополам и угол между этими высотами.

Следовательно, диагональ ромба делит пополам угол между высотами, проведёнными из её вершины.