5.16. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Пусть сторона ромба равна \(a\), а его тупой угол — \(\alpha\). Опустим высоту из вершины тупого угла на противоположную сторону. Проекция стороны ромба на эту сторону равна \(a\cos(180^\circ-\alpha)=-a\cos\alpha\). Поэтому расстояние от начала противоположной стороны до основания высоты равно \(a-a\cos\alpha\).

По условию основание высоты делит эту сторону пополам, значит \(a-a\cos\alpha=\frac a2\). Отсюда \(\cos\alpha=\frac12\), и с учётом того, что угол тупой, \(\alpha=120^\circ\). Второй угол ромба равен \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и этой диагональю, угол между сторонами равен 60°, поэтому диагональ равна стороне ромба. Следовательно, сторона равна 4 см, а периметр равен \(4\cdot4=16\) см.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°; периметр — 16 см.