5* (2 балла). Отрезки MN и PQ - диаметры окружности. Докажите, что хорды MQ и PN равны.

Решение:

Нам нужно доказать, что хорды \(MQ\) и \(PN\) равны, зная, что \(MN\) и \(PQ\) — диаметры окружности.

Рассмотрим треугольники \(\triangle MOQ\) и \(\triangle PON\).

1. \(MO = NO \) и \(PO = QO \) (так как \(MN\) и \(PQ\) — диаметры, и O — центр окружности. Радиусы, проведённые в точки M, Q, P, N, равны).

2. \( \angle MOQ = \angle PON \) (вертикальные углы).
3. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними - SAS), \(\triangle MOQ = \triangle PON \).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(MQ = PN \).

Доказано.