5.2. Решите уравнение \(3^{2x+1}-5\cdot6^x+2^{2x+1}\leq0\).

Так как \(6^x>0\), разделим обе части неравенства на \(6^x\):

\(3\left(\frac{3}{2}\right)^x+2\left(\frac{2}{3}\right)^x-5\leq0\).

Положим \(t=\left(\frac{3}{2}\right)^x\), тогда \(t>0\) и \(\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{1}{t}\). Получаем

\(3t+\frac{2}{t}-5\leq0\).

Умножим на положительное \(t\), не меняя знак неравенства:

\(3t^2-5t+2\leq0\).

Разложим на множители: \((3t-2)(t-1)\leq0\), поэтому \(t\in\left[\frac{2}{3},1\right]\).

Функция \(\left(\frac{3}{2}\right)^x\) возрастает, причём \(\frac{2}{3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{-1}\) и \(1=\left(\frac{3}{2}\right)^0\). Следовательно, \(-1\leq x\leq0\).

Ответ: \(x\in[-1;0]\).