5.3. Представьте выражение \(\left(\frac{a^{\sqrt{5}+1}}{a^2}\right)^{\sqrt{5}-1}\cdot\left(\frac{a^{\sqrt{2}+1}}{a^2}\right)^{\sqrt{2}+1}:a^2\) в виде степени с основанием \(a\).

Question

Вопрос:

Фото задания

5.3. Представьте выражение \(\left(\frac{a^{\sqrt{5}+1}}{a^2}\right)^{\sqrt{5}-1}\cdot\left(\frac{a^{\sqrt{2}+1}}{a^2}\right)^{\sqrt{2}+1}:a^2\) в виде степени с основанием \(a\).

Accepted Answer

Сначала упростим основания степеней, используя правило \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\):

\(\left(a^{\sqrt{5}-1}\right)^{\sqrt{5}-1}\cdot\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)^{\sqrt{2}+1}:a^2\).

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

\(a^{(\sqrt{5}-1)^2}\cdot a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}:a^2\).

Вычислим показатели: \((\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}\), а \((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1\). При умножении степени с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются:

\(a^{6-2\sqrt{5}+1-2}=a^{5-2\sqrt{5}}\).

Ответ: \(a^{5-2\sqrt{5}}\) (при \(a>0\)).