5.2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона основания пирамиды равна 12. Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани равно 9. Найдите объём конуса. При решении задания необходимо сделать рисунок.

Решение. Вписанный конус имеет вершину в вершине пирамиды, а его основание — круг, вписанный в треугольное основание пирамиды.

1. Радиус основания конуса равен радиусу вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной 12: \(r=\frac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3\), поэтому \(r^2=12\).

2. Обозначим высоту пирамиды через \(H\). Площадь основания равна \(36\sqrt3\), поэтому объём пирамиды равен \(12\sqrt3H\). Грань, противоположная выбранной вершине основания, — треугольник с основанием 12 и высотой \(\sqrt{H^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{H^2+12}\); её площадь равна \(6\sqrt{H^2+12}\).

3. Расстояние от вершины основания до этой грани равно утроенному объёму пирамиды, делённому на площадь грани. По условию:

   \(\frac{3\cdot12\sqrt3H}{6\sqrt{H^2+12}}=9\), откуда \(6\sqrt3H=9\sqrt{H^2+12}\). После возведения в квадрат получаем \(108H^2=81(H^2+12)\), значит, \(H^2=36\) и \(H=6\).

4. Высота конуса равна высоте пирамиды. Тогда \(V=\frac13\pi r^2H=\frac13\pi\cdot12\cdot6=24\pi\).

Ответ: \(24\pi\).

Схема условная; пунктиром показаны высота и расстояние от A до плоскости грани SBC.