5.3. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основания которой равны 10 и 20, а боковая сторона равна 10. Объём описанного около пирамиды конуса равен \(\frac{1000\pi\sqrt3}{3}\). Найдите объём пирамиды. При решении задания необходимо сделать рисунок.

Решение.

1. Высота равнобедренной трапеции находится из прямоугольного треугольника: горизонтальная проекция боковой стороны равна \(\frac{20-10}{2}=5\), поэтому высота равна \(\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3\). Площадь основания пирамиды:

   \(S_{\text{тр}}=\frac{10+20}{2}\cdot5\sqrt3=75\sqrt3\).

2. Равнобедренная трапеция является вписанной в окружность. Введём координаты её вершин \((-10,0),(10,0),(5,5\sqrt3),(-5,5\sqrt3)\). Центр описанной окружности лежит на оси симметрии; равенство расстояний от центра до вершин показывает, что он находится в середине большего основания. Следовательно, радиус окружности равен 10, и площадь основания описанного конуса равна \(100\pi\).

3. Конус и пирамида имеют общую высоту. Из объёма конуса находим её: \(H=\frac{3V_{\text{кон}}}{100\pi}=10\sqrt3\).

4. Объём пирамиды: \(V_{\text{пир}}=\frac13S_{\text{тр}}H=\frac13\cdot75\sqrt3\cdot10\sqrt3=250\).

Ответ: 250.

Схема условная: круг — основание описанного конуса, трапеция — основание пирамиды.