5. (26) Найдите объём и прямого кругового конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите V

Решение:

• Образующая конуса \( l = 2 \).
• Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 30° \).
• В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания (r), высотой конуса (h) и образующей (l), образующая является гипотенузой.
• Высота конуса \( h = l \sin(\alpha) = 2 \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \).
• Радиус основания конуса \( r = l \cos(\alpha) = 2 \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
• Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
• Подставляем значения \(r\) и \(h\): \( V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{3})^2 \cdot 1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi \)

Ответ: \( \pi \)