5.26. Решите графически: а) $xy>0$; б) $xy\le 1$; в) $xy\le 0$; г) $xy>2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.26. Решите графически: а) $xy>0$; б) $xy\le 1$; в) $xy\le 0$; г) $xy>2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Границей для каждого неравенства является гипербола $xy=k$, то есть $y=\dfrac{k}{x}$. Для произведения $xy$ учитываем знаки координат.

а) $xy>0$. Произведение положительно, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Решение: I и III координатные четверти, без координатных осей. Граница $xy=0$ не входит.
б) $xy\le 1$. Граница $xy=1$, или $y=\dfrac1x$, входит в решение. Берутся все точки, для которых произведение координат не превосходит 1; в частности, полностью входят II и IV четверти, а в I и III четвертях — области между координатными осями и ветвями гиперболы.
в) $xy\le 0$. Произведение неположительно, когда координаты имеют разные знаки или одна из них равна нулю. Решение: II и IV четверти вместе с обеими координатными осями.
г) $xy>2$. Граница $xy=2$, или $y=\dfrac2x$, не входит в решение. Решение состоит из частей I и III четвертей, расположенных за пределами ветвей гиперболы относительно начала координат.

Ответ: а) I и III четверти; б) область $xy\le1$; в) II и IV четверти и координатные оси; г) части I и III четвертей, где $xy>2$.

5.26. Решите графически: а) \(xy>0\); б) \(xy\le 1\); в) \(xy\le 0\); г) \(xy>2\).