5. (3 балла) В параллелограмме провели биссектрисы всех его углов. Докажите, что точки их пересечения образуют прямоугольник.

Обозначим параллелограмм через ABCD, а точки пересечения соседних биссектрис — через P, Q, R, S.

1. Соседние углы параллелограмма supplementary: их сумма равна 180°. Поэтому угол между их биссектрисами равен половине этой суммы, то есть 90°.

2. Значит, все углы четырёхугольника PQRS, образованного точками пересечения соседних биссектрис, прямые.

Следовательно, PQRS — прямоугольник.