6. (3 балла) Из двух противоположных вершин параллелограмма на все его стороны опустили перпендикуляры. Докажите, что их основания образуют прямоугольник.

Пусть ABCD — параллелограмм. Из противоположных вершин A и C опущены перпендикуляры на стороны; обозначим их основания последовательно через E, F, G, H.

1. Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, перпендикуляры к каждой паре таких сторон параллельны. Поэтому две пары противоположных сторон четырёхугольника EFGH параллельны.

2. Следовательно, EFGH — параллелограмм.

3. Соседние перпендикуляры опущены на соседние стороны параллелограмма. Угол между такими перпендикулярами равен углу между соответствующими сторонами, а соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. На рисунке основания соединены так, что соседние стороны четырёхугольника перпендикулярны.

Значит, параллелограмм EFGH имеет прямой угол и потому является прямоугольником.