5.3. Шайба скользит по гладкому желобу, имеющему форму окружности. В точке A, определяемой углом φ = 45° (рис.), давление шайбы на желоб численно равно её силе тяжести. Определить величину ускорения шайбы в точке A.

Считаем, что угол φ отсчитывается между радиусом к шайбе и вертикалью, как на рисунке. На шайбу действуют сила тяжести и нормальная реакция желоба. По третьему закону Ньютона давление шайбы на желоб равно по модулю нормальной реакции: N = mg.

В радиальном направлении к центру окружности:

\(N-mg\cos\varphi=\dfrac{mv^2}{R}\), поэтому \(\dfrac{v^2}{R}=g(1-\cos\varphi)\).

Ускорение по касательной равно проекции силы тяжести: \(a_{\tau}=g\sin\varphi\). Радиальное ускорение \(a_r=v^2/R\) перпендикулярно касательному, поэтому

\(a=\sqrt{a_r^2+a_{\tau}^2}=g\sqrt{(1-\cos\varphi)^2+\sin^2\varphi}=g\sqrt{2-2\cos\varphi}\).

При \(\varphi=45^\circ\): \(a=g\sqrt{2-\sqrt2}\approx0.765g\approx7.50\ \text{м/с}^2\).

Ответ: \(a=g\sqrt{2-\sqrt2}\approx7.50\ \text{м/с}^2\).