5.5. На внутренней поверхности полого шара радиуса R, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω, находится маленькая шайба (рис.). Считая угол α известным, найдите минимальное значение коэффициента трения, при котором шайба не сорвётся вниз. Покажите силы на рисунке.

Считаем, что α на рисунке — угол между радиусом к шайбе и горизонтальной плоскостью. Шайба вращается вместе с шаром по горизонтальной окружности радиуса \(R\cos\alpha\). В инерциальной системе отсчёта её ускорение направлено горизонтально к оси и равно \(\omega^2R\cos\alpha\).

Обозначим через N нормальную реакцию шара. Разложим силы на направления вдоль радиуса сферы и по касательной к её поверхности, направленной вниз по шару. В радиальном направлении проекция ускорения равна \(-\omega^2R\cos^2\alpha\), поэтому \(N=mg\sin\alpha+m\omega^2R\cos^2\alpha\).

В касательном направлении ускорение имеет проекцию \(-\omega^2R\sin\alpha\cos\alpha\). Для равномерного вращения сила трения, направленная вверх по поверхности, должна иметь величину \(f=mg\cos\alpha+m\omega^2R\sin\alpha\cos\alpha\).

На грани скольжения \(f=\mu_{\min}N\). Следовательно,

\[\mu_{\min}=\frac{g\cos\alpha+\omega^2R\sin\alpha\cos\alpha}{g\sin\alpha+\omega^2R\cos^2\alpha}.\]

Схема сил на шайбе:

Сила трения направлена вверх по поверхности и препятствует скольжению шайбы вниз.

Ответ: \(\displaystyle\mu_{\min}=\frac{g\cos\alpha+\omega^2R\sin\alpha\cos\alpha}{g\sin\alpha+\omega^2R\cos^2\alpha}\).