5.3. Точка M — середина стороны BC прямоугольника ABCD, MA ⟂ MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим \(AB=h\), \(BC=w\). Выберем координаты: \(A(0,0)\), \(B(0,h)\), \(C(w,h)\), \(D(w,0)\). Тогда, поскольку M — середина BC, \(M\left(\frac{w}{2},h\right)\).

Перпендикулярность MA и MD означает, что их направляющие векторы имеют нулевое скалярное произведение. Векторы \(\overrightarrow{MA}=\left(-\frac{w}{2},-h\right)\) и \(\overrightarrow{MD}=\left(\frac{w}{2},-h\right)\), поэтому \(-\frac{w^2}{4}+h^2=0\), откуда \(w=2h\).

Из периметра получаем \(2(w+h)=36\), то есть \(w+h=18\). Подставим \(w=2h\): \(3h=18\), значит \(h=6\) см и \(w=12\) см.

Ответ: стороны прямоугольника — 6 см и 12 см.