5.3. Центр числовой окружности совпадает с началом координат на координатной плоскости xOy. Найдите декартовы координаты заданной точки: а) M(15π/4); б) M(16π/3); в) M(−31π/4); г) M(−26π/3).

Сначала приведём углы к промежутку \([0,2\pi)\), затем используем формулу \(M(\alpha)=(\cos\alpha,\sin\alpha)\).

1. \(\frac{15\pi}{4}-2\pi=\frac{7\pi}{4}\), поэтому
   \(M\left(\frac{15\pi}{4}\right)=M\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right)\).
2. \(\frac{16\pi}{3}-4\pi=\frac{4\pi}{3}\), поэтому
   \(M\left(\frac{16\pi}{3}\right)=M\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\).
3. \(-\frac{31\pi}{4}+8\pi=\frac{\pi}{4}\), поэтому
   \(M\left(-\frac{31\pi}{4}\right)=M\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)\).
4. \(-\frac{26\pi}{3}+10\pi=\frac{4\pi}{3}\), поэтому
   \(M\left(-\frac{26\pi}{3}\right)=M\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\).

Ответ: а) \(\left(\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right)\); б) \(\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\); в) \(\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)\); г) \(\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\).