5.31. На ребре BC тетраэдра DABC отметили точку E так, что BE : EC = 2 : 1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку E параллельно прямым AB и CD. Найдите периметр сечения, если AB = 18 см, CD = 12 см.

Обозначим через F, G и H точки пересечения плоскости с рёбрами AC, AD и BD соответственно. Поскольку плоскость параллельна AB и CD, полученное сечение EFGH — параллелограмм.

1. В треугольнике CBA EF ∥ AB, поэтому треугольники CEF и CBA подобны. Из BE : EC = 2 : 1 следует CE : CB = 1 : 3. Значит, EF = AB / 3 = 18 / 3 = 6 см.
2. В треугольнике BCD EH ∥ CD. Тогда EH / CD = BE / BC = 2 / 3, поэтому EH = 12 · 2 / 3 = 8 см.
3. Периметр параллелограмма: P = 2(EF + EH) = 2(6 + 8) = 28 см.

Ответ: 28 см.

На схеме F ∈ AC, G ∈ AD, H ∈ BD; стороны EF и GH параллельны AB, а FG и HE — CD.