5.39. Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение: 1) x⁴ − 5x³ + 6x² − 7x + 5 = 0; 2) x⁸ + x⁴ + 1 = x⁷ + x³ + x.

1. Пусть x < 0. Тогда x⁴ > 0, −5x³ > 0, 6x² > 0 и −7x > 0. Поэтому левая часть уравнения — сумма положительных чисел и не может равняться нулю.
2. Перенесём всё в левую часть: x⁸ − x⁷ + x⁴ − x³ + 1 = 0. При x < 0 каждое слагаемое положительно: x⁸ > 0, −x⁷ > 0, x⁴ > 0, −x³ > 0 и 1 > 0. Их сумма не может равняться нулю.

Ответ: оба уравнения не имеют отрицательных корней.