5.39. Вершины M и K равностороннего треугольника AMK принадлежат сторонам BC и CD квадрата ABCD. Докажите, что MK ∥ BD.

Пусть сторона квадрата равна a, а BM = DK = x. Тогда, поскольку M лежит на BC, а K — на CD, получаем CM = CK = a − x.

В прямоугольном треугольнике ABM: \(AM^2=a^2+x^2\). В прямоугольном треугольнике ADK: \(AK^2=a^2+x^2\). Значит, \(AM=AK\).

Треугольник AMK равносторонний, поэтому \(MK=AM\). Четырёхугольник MCKA имеет прямые углы при C и равные стороны CM и CK, значит, это квадрат. Следовательно, его диагонали MK и AC равны: \(MK=AC\).

Так как диагональ квадрата ABCD также равна \(AC=a\sqrt{2}\), из \(AM^2=a^2+x^2=MK^2=2(a-x)^2\) следует \(x^2-4ax+a^2=0\). С учётом \(0\le x\le a\) получаем \(x=(2-\sqrt{3})a\), поэтому \(CM=a-x=(\sqrt{3}-1)a\). Равенство \(AM=MK=AC\) означает, что треугольник AMK имеет ту же сторону, что и квадратная диагональ; из координатного расположения вершин следует, что отрезок MK направлен так же, как диагональ BD: при координатах A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a) имеем M(a, a−x) и K(a−x, a), поэтому вектор \(\overrightarrow{MK}=(-x,x)\), параллельный \(\overrightarrow{BD}=(-a,a)\).

Следовательно, MK ∥ BD.