Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Положим \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(C=(1;1;0)\), \(D=(0;1;0)\), а верхние вершины имеют координату \(z=1\). Тогда \(K=(\frac12;0;1)\), \(L=(1;\frac12;\frac12)\), \(M=(\frac12;1;0)\).
1. По формуле расстояния: \(KL=LM=\frac{\sqrt6}{2}\), \(KM=\sqrt2\). Треугольник равнобедренный. Для угла при M по теореме косинусов \(\cos\angle KML=\frac{(\sqrt6/2)^2+(\sqrt2)^2-(\sqrt6/2)^2}{2(\sqrt6/2)(\sqrt2)}=\frac1{\sqrt3}\). Следовательно, \(\angle KML\approx54.7°\), а равные углы при K и L равны приблизительно \(62.6°\).
2. Направляющие векторы прямых: \(\vec{AM}=(\frac12;1;0)\), \(\vec{DC_1}=(1;0;1)\). Их скалярное произведение равно \(\frac12\), длины — \(\frac{\sqrt5}{2}\) и \(\sqrt2\). Поэтому косинус угла между прямыми равен \(\frac1{\sqrt{10}}\), угол приблизительно \(71.6°\).
3. \(\vec{AC}=(1;1;0)\), \(\vec{KL}=(\frac12;\frac12;−\frac12)\), а \(|\vec{KL}|=\frac{\sqrt3}{2}\). Скалярная проекция \(\vec{AC}\) на направление \(\vec{KL}\) равна \(\frac{\vec{AC}\cdot\vec{KL}}{|\vec{KL}|}=\frac{2}{\sqrt3/2}=\frac4{\sqrt3}\). Векторная проекция равна \(\frac{\vec{AC}\cdot\vec{KL}}{|\vec{KL}|^2}\vec{KL}=(\frac23;\frac23;−\frac23)\).
Ответ: \(KL=LM=\frac{\sqrt6}{2}\), \(KM=\sqrt2\); углы примерно \(62.6°\), \(62.6°\), \(54.7°\); угол между прямыми примерно \(71.6°\); скалярная проекция равна \(\frac4{\sqrt3}\), векторная — \((\frac23;\frac23;−\frac23)\).
