5.49. Дана правильная четырёхугольная пирамида OABCD, одна из вершин которой O является началом координат. Известны координаты точек A(−1; −1; 2), C(1; 1; 2). 1. Найдите координаты остальных вершин. 2. M — центр описанной окружности основания ABCD. Разложите вектор AM по векторам OA, OB и OD. 3. Найдите координаты вектора AM.

В правильной пирамиде проекция вершины O на основание совпадает с центром квадрата. Точки A и C — противоположные вершины основания, поэтому центр основания — середина AC:

\(M=\left(\frac{-1+1}{2};\frac{-1+1}{2};\frac{2+2}{2}\right)=(0;0;2)\).

Так как основание лежит в плоскости \(z=2\), а его центр — (0; 0; 2), две оставшиеся вершины квадрата имеют координаты B(1; −1; 2) и D(−1; 1; 2) (с точностью до перестановки B и D).

Вектор \(\overrightarrow{AM}=(1;1;0)\). Пусть \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OD}\). Сравнение координат даёт систему \(-x+y-z=1\), \(-x-y+z=1\), \(2x+2y+2z=0\). Отсюда \(x=-1\), \(y=z=\frac12\).

Ответ: B(1; −1; 2), D(−1; 1; 2); \(\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{OB}+\frac12\overrightarrow{OD}\); \(\overrightarrow{AM}=(1;1;0)\).