5.53. Точки M и N — середины соответственно рёбер AA₁ и BB₁ призмы ABCA₁B₁C₁. На отрезках BM и AC₁ соответственно отметили точки P и K так, что PK ∥ CN. Найдите отношение PK/CN.

Пусть P делит BM в отношении BP/BM = t, а K делит AC₁ в отношении AK/AC₁ = u. Используем векторное представление призмы: боковые рёбра задаются одним и тем же вектором.

Из условия PK ∥ CN следует равенство коэффициентов соответствующих векторов. Для компоненты вдоль боковых рёбер получаем u − t/2 = −u/2, откуда t = 3u. Для компоненты вдоль основания получаем t = 1 − u.

Тогда 3u = 1 − u, поэтому u = 1/4. Коэффициент пропорциональности векторов PK и CN по модулю равен u, следовательно, PK/CN = 1/4.

Ответ: PK/CN = 1/4.