5.54. Точка M — середина ребра CC₁ призмы ABCA₁B₁C₁. На отрезках BM и CA₁ соответственно отметили точки E и F так, что EF ∥ AB₁. Найдите отношение EF/AB₁.

Пусть E делит BM в отношении BE/BM = t, а F делит CA₁ в отношении CF/CA₁ = u. Представим боковые рёбра призмы одним вектором. Условие EF ∥ AB₁ даёт для коэффициентов при векторах основания u = 1 − t, а для компоненты вдоль боковых рёбер — u − t/2 = t − 1.

Подставим u = 1 − t: 1 − 3t/2 = t − 1, откуда t = 4/5 и u = 1/5. Вектор EF равен −1/5 вектора AB₁, поэтому отношение длин равно 1/5.

Ответ: EF/AB₁ = 1/5.