5.7. Решите неравенство: 1) (2x + 1)(x − 3)(x² + 4) < 0; 2) (2 − x)(3x + 5)(x² − x + 1) > 0; 3) (3x² − 5x − 2)(2x² + x + 1) < 0; 4) (4 − x)(3x + 1)(x⁴ + x² + 1) < 0.

Квадратные множители \(x^2+4\), \(x^2-x+1\), \(2x^2+x+1\) и \(x^4+x^2+1\) положительны при всех действительных \(x\): у квадратных трёхчленов отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, а сумма в последнем множителе положительна.

1) Поэтому решаем \((2x+1)(x-3)<0\). Корни: \(-\frac12\) и \(3\); произведение отрицательно между корнями.

Ответ: \((-\frac12,3)\).

2) Решаем \((2-x)(3x+5)>0\). Нули: \(-\frac53\) и \(2\); произведение положительно между ними.

Ответ: \((-\frac53,2)\).

3) Разложим первый множитель: \(3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)\). Решаем \((3x+1)(x-2)<0\); произведение отрицательно между корнями \(-\frac13\) и \(2\).

Ответ: \((-\frac13,2)\).

4) Решаем \((4-x)(3x+1)<0\). Нули: \(-\frac13\) и \(4\); произведение отрицательно вне промежутка между корнями.

Ответ: \((-\infty,-\frac13)\cup(4,+\infty)\).