5.7. Выяснить, при каких значениях x выражения имеют смысл: 1) \(\sqrt[8]{(x+1)\sqrt[7]{x-7}}\); 2) \(\sqrt[8]{(8-x)\sqrt[5]{5-x}}\).

Для корней чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным; корни нечётной степени определены при любых действительных подкоренных выражениях.

1) Нужно, чтобы \((x+1)\sqrt[7]{x-7}\geq 0\). Знаки множителей совпадают или один из них равен нулю при \(x\leq -1\) либо \(x\geq 7\).

2) Нужно, чтобы \((8-x)\sqrt[5]{5-x}\geq 0\). Оба множителя неотрицательны при \(x\leq 5\), а оба неположительны при \(x\geq 8\).

Ответ: 1) \((-\infty;-1]\cup[7;+\infty)\); 2) \((-\infty;5]\cup[8;+\infty)\).