5.8 а) $y=e^x-x$, $[-3;2]$; б) $y=e^x-ex$, $[-2;2]$; в) $y=\sin 2x-x$, $[-\pi;\pi]$; г) $y=\cos 2x+x$, $[-\pi;\pi]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5.8 а) $y=e^x-x$, $[-3;2]$; б) $y=e^x-ex$, $[-2;2]$; в) $y=\sin 2x-x$, $[-\pi;\pi]$; г) $y=\cos 2x+x$,…$ Фото задания

5.8 а) $y=e^x-x$, $[-3;2]$; б) $y=e^x-ex$, $[-2;2]$; в) $y=\sin 2x-x$, $[-\pi;\pi]$; г) $y=\cos 2x+x$, $[-\pi;\pi]$.

Accepted Answer

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений проверяем значения функции в критических точках и на концах отрезка.

а) $f'(x)=e^x-1$. Критическая точка: $x=0$. Значения: $f(-3)=3+e^{-3}$, $f(0)=1$, $f(2)=e^2-2$. Поэтому минимум равен $1$ при $x=0$, максимум равен $e^2-2$ при $x=2$.
б) $f'(x)=e^x-e$, критическая точка $x=1$. Значения: $f(-2)=2e+e^{-2}$, $f(1)=0$, $f(2)=e^2-2e$. Поэтому минимум равен $0$ при $x=1$, максимум равен $2e+e^{-2}$ при $x=-2$.
в) $f'(x)=2\cos 2x-1$. Критические точки на отрезке: $-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$. На концах отрезка значения равны $f(-\pi)=\pi$, $f(\pi)=-\pi$. Проверка критических точек показывает, что наибольшее значение — $\pi$ при $x=-\pi$, наименьшее — $-\pi$ при $x=\pi$.
г) $f'(x)=1-2\sin 2x$. Критические точки: $-\frac{11\pi}{12},-\frac{7\pi}{12},\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}$. На концах отрезка $f(-\pi)=1-\pi$, $f(\pi)=1+\pi$. Сравнение со значениями в критических точках даёт максимум $1+\pi$ при $x=\pi$ и минимум $1-\pi$ при $x=-\pi$.

Ответ: а) максимум $e^2-2$, минимум $1$; б) максимум $2e+e^{-2}$, минимум $0$; в) максимум $\pi$, минимум $-\pi$; г) максимум $1+\pi$, минимум $1-\pi$.

5.8 а) \(y=e^x-x\), \([-3;2]\); б) \(y=e^x-ex\), \([-2;2]\); в) \(y=\sin 2x-x\), \([-\pi;\pi]\); г) \(y=\cos 2x+x\), \([-\pi;\pi]\).

Ответ: