5.9* а) \(y=e^{x^2}-ex^2\), \([-e;e]\); б) \(y=e^{x^2-2x}\), \([-\pi;\pi]\); в) \(y=\frac{\ln x}{x}\), \((0;\pi]\); г) \(y=\frac{e^x}{1+x}\), \((-1;\pi]\).

Для функции, заданной на незамкнутом интервале, отдельно проверяем, достигаются ли предельные значения у открытого конца.

1. а) Положим \(t=x^2\), тогда \(0\le t\le e^2\) и \(f=e^t-et\). Производная по \(t\): \(e^t-e\); критическая точка \(t=1\), где достигается минимум \(0\). На концах диапазона: при \(t=0\) значение \(1\), при \(t=e^2\) значение \(e^{e^2}-e^3\). Следовательно, максимум достигается при \(x=\pm e\).
2. б) \(x^2-2x=(x-1)^2-1\). Минимум показателя равен \(-1\) при \(x=1\), поэтому минимум функции — \(e^{-1}\). Наибольший показатель на отрезке достигается при \(x=-\pi\): \(\pi^2+2\pi\). Максимум функции равен \(e^{\pi^2+2\pi}\).
3. в) \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\). Функция возрастает до \(x=e\), затем убывает, поэтому максимум равен \(f(e)=1/e\). При \(x\to0+\) функция стремится к \(-\infty\), следовательно, минимума на заданном интервале нет.
4. г) \(f'(x)=\frac{xe^x}{(1+x)^2}\). Функция убывает на \((-1;0)\) и возрастает на \((0;\pi]\), поэтому минимум равен \(f(0)=1\). При \(x\to-1+\) функция стремится к \(+\infty\), следовательно, максимума нет.

Ответ: а) максимум \(e^{e^2}-e^3\), минимум \(0\); б) максимум \(e^{\pi^2+2\pi}\), минимум \(e^{-1}\); в) максимум \(1/e\), минимума нет; г) минимум \(1\), максимума нет.