5. AB - общая касательная к двум касающимся окружностям 9 см и 4 см, А и В - точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка АВ.

Решение:

1. Дано: Две касающиеся окружности с радиусами \( r_1 = 9 \text{ см} \) и \( r_2 = 4 \text{ см} \). AB — их общая касательная, причем A и B — точки касания. Окружности касаются друг друга.

2. Найти: Длину отрезка AB.

3. Решение:

Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей с радиусами \( r_1 \) и \( r_2 \) соответственно. Опустим перпендикуляры \( O_1A \) и \( O_2B \) на касательную AB. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, \( O_1A ⊥ AB \) и \( O_2B ⊥ AB \).

Проведем через центр меньшей окружности \( O_2 \) прямую, параллельную касательной AB. Эта прямая пересечет радиус \( O_1A \) в некоторой точке C.

Получился прямоугольник \( ACO_2B \). Следовательно, \( AC = O_2B = r_2 = 4 \text{ см} \) и \( AB = CO_2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle O_1CO_2 \):

• Гипотенуза \( O_1O_2 \) — это расстояние между центрами касающихся окружностей, которое равно сумме их радиусов: \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 9 \text{ см} + 4 \text{ см} = 13 \text{ см} \).
• Катет \( O_1C \) равен разности радиусов: \( O_1C = O_1A - AC = r_1 - r_2 = 9 \text{ см} - 4 \text{ см} = 5 \text{ см} \).
• Катет \( CO_2 \) равен искомой длине AB.

По теореме Пифагора для \( \triangle O_1CO_2 \):

\( O_1C^2 + CO_2^2 = O_1O_2^2 \)

\( 5^2 + AB^2 = 13^2 \)

\( 25 + AB^2 = 169 \)

\( AB^2 = 169 - 25 \)

\( AB^2 = 144 \)

\( AB = \sqrt{144} \text{ см} \)

\( AB = 12 \text{ см} \).

Ответ: 12 см