5. AB – общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 см и 36 см, А и В – точки касания. Найдите длину отрезка АВ.

Эта задача на нахождение длины общей касательной к двум касающимся окружностям. Вот как мы ее решим:

1. Анализ условия: У нас есть две окружности, которые касаются друг друга. AB – это их общая касательная, где A – точка касания на одной окружности, а B – на другой. Радиусы этих окружностей равны R = 36 см и r = 25 см.
2. Построение: Проведем радиусы O1A и O2B к точкам касания. Эти радиусы перпендикулярны касательной AB. O1 – центр первой окружности, O2 – центр второй.
3. Свойства: Так как O1A ⊥ AB и O2B ⊥ AB, то O1A || O2B.
4. Построение вспомогательной линии: Через центр меньшей окружности O2 проведем прямую, параллельную касательной AB. Эта прямая пересечет радиус O1A в точке, назовем ее C.
5. Получаем прямоугольник: Таким образом, мы получаем прямоугольник ACO2B. В этом прямоугольнике AC = O2B = r = 25 см, а CO2 = AB.
6. Находим длину отрезка O1C: O1C = O1A - AC = R - r = 36 см - 25 см = 11 см.
7. Рассматриваем прямоугольный треугольник O1CO2: У нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза O1O2 равна сумме радиусов (так как окружности касаются внешне): O1O2 = R + r = 36 см + 25 см = 61 см. Катет O1C = 11 см.
8. Применяем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике O1CO2, по теореме Пифагора: $$O1O2^2 = O1C^2 + CO2^2$$.
9. Находим CO2 (что равно AB): $$61^2 = 11^2 + CO2^2$$. $$3721 = 121 + CO2^2$$. $$CO2^2 = 3721 - 121 = 3600$$. $$CO2 = \sqrt{3600} = 60$$ см.
10. Итог: Поскольку CO2 = AB, то длина отрезка AB равна 60 см.

Ответ: 60 см.