5. △ABC — остроугольный. AK, BM, CN — высоты. Доказать, что около четырёхугольника AMON можно описать окружность.

Так как AK, BM и CN — высоты, то M лежит на AC, N лежит на AB, а O — точка пересечения высот.

1. BM ⟂ AC, поэтому ∠AMO = 90°.
2. CN ⟂ AB, поэтому ∠ANO = 90°.
3. Следовательно, ∠AMO + ∠ANO = 180°.
4. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Значит, около четырёхугольника AMON можно описать окружность; её диаметр — AO.