5. ABCD — параллелограмм. На диагонали AC отмечены точки P и E; BP ⟂ AC, DE ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABP и CDE.

У них:

1. \(AB=CD\), так как ABCD — параллелограмм;
2. \(\angle APB=\angle CED=90^\circ\);
3. угол между AB и AC равен углу между CD и CA, так как \(AB\parallel CD\).

Следовательно, треугольники ABP и CDE равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства соответствующих катетов получаем \(AP=CE\).

Что и требовалось доказать.