5. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 8 раза за 16 суток. Найти период полураспада.

Решение:

Активность радиоактивного вещества убывает по закону:

\[ A(t) = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

где \( A(t) \) — активность в момент времени \( t \), \( A_0 \) — начальная активность, \( T \) — период полураспада.

По условию задачи, активность уменьшилась в 8 раз за 16 суток. Это значит:

\[ A(t) = \frac{A_0}{8} \]

\( t = 16 \) суток.

Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{A_0}{8} = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{16}{T}} \]

Разделим обе части на \( A_0 \):

\[ \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{16}{T}} \]

Так как \( \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \), то:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{16}{T}} \]

Приравниваем показатели степени:

\[ 3 = \frac{16}{T} \]

Выразим \( T \):

\[ T = \frac{16}{3} \text{ суток} \]

\[ T \approx 5,33 \text{ суток} \]

Ответ: Период полураспада элемента составляет \( \frac{16}{3} \) суток или приблизительно 5,33 суток.