5. Архитектор проектирует декоративный шпиль для башни в форме правильной треугольной пирамиды. Все рёбра шпиля должны быть равны 6 см. Чтобы оценить массу конструкции и подобрать крепёж, нужно знать её объём. Рассчитайте объём шпиля в кубических сантиметрах.

Дано:

• Фигура: правильная треугольная пирамида.
• Все рёбра (a): 6 см.

Найти: Объём пирамиды (V).

Решение:

В правильной треугольной пирамиде все рёбра равны, если грани — равносторонние треугольники. В этом случае боковые грани являются равносторонними треугольниками со стороной 6 см, а основание — также равносторонний треугольник со стороной 6 см.

1. Вычислим площадь основания (S_осн): Площадь равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле:
   • \[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
2. Найдем высоту пирамиды (h): В правильной треугольной пирамиде высота, апофема боковой грани и радиус вписанной окружности в основании образуют прямоугольный треугольник. Апофема (d) боковой грани (равностороннего треугольника) равна:
   • \[ d = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \text{ см} \]
   Радиус вписанной окружности (r) в равносторонний треугольник равен 1/3 высоты:
   • \[ r = \frac{1}{3} \times d = \frac{1}{3} \times 3 \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \text{ см} \]
   Теперь найдём высоту пирамиды (h) по теореме Пифагора, где гипотенуза — боковое ребро (6 см), а катеты — радиус вписанной окружности (r) и высота пирамиды (h):
   • \[ h = \sqrt{a^2 - r^2} = \sqrt{6^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 3} = \sqrt{33} \text{ см} \]
3. Вычислим объём пирамиды (V): Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
   • \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \times \sqrt{33} \text{ см} \]
   • \[ V = 3 \sqrt{3} \times \sqrt{33} \text{ см}^3 = 3 \sqrt{99} \text{ см}^3 = 3 \sqrt{9 \times 11} \text{ см}^3 = 3 \times 3 \sqrt{11} \text{ см}^3 = 9 \sqrt{11} \text{ см}^3 \]

Ответ: 9√11 см³