5. Баржа прошла по течению реки 68 км и, повернув обратно, прошла ещё 72 км, затратив на весь путь 5 ч. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (км/ч). Скорость течения реки равна 5 км/ч.

Скорость баржи по течению: \( v + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v - 5 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{68}{v + 5} \) часов.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{72}{v - 5} \) часов.

Общее время в пути составило 5 часов:

\[ t_1 + t_2 = 5 \]

\[ \frac{68}{v + 5} + \frac{72}{v - 5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v + 5)(v - 5) \):

\[ 68(v - 5) + 72(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5) \]

\[ 68v - 340 + 72v + 360 = 5(v^2 - 25) \]

\[ 140v + 20 = 5v^2 - 125 \]

\[ 5v^2 - 140v - 125 - 20 = 0 \]

\[ 5v^2 - 140v - 145 = 0 \]

Разделим на 5:

\[ v^2 - 28v - 29 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-29) = 784 + 116 = 900 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \)

Найдем корни уравнения:

\[ v_1 = \frac{28 + 30}{2} = \frac{58}{2} = 29 \]

\[ v_2 = \frac{28 - 30}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как собственная скорость баржи не может быть отрицательной, она равна 29 км/ч.

Ответ: 29 км/ч.