7. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 12 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 8 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 9 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( x \) — скорость течения реки (км/ч). Скорость теплохода в неподвижной воде равна 8 км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( 8 + x \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{12}{8 + x} \) часов.

Скорость теплохода против течения: \( 8 - x \) км/ч.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{12}{8 - x} \) часов.

Общее время в пути составило 9 часов, включая 5 часов стоянки. Следовательно, время движения теплохода равно \( 9 - 5 = 4 \) часа.

\[ t_1 + t_2 = 4 \]

\[ \frac{12}{8 + x} + \frac{12}{8 - x} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( (8 + x)(8 - x) \):

\[ 12(8 - x) + 12(8 + x) = 4(8 + x)(8 - x) \]

\[ 96 - 12x + 96 + 12x = 4(64 - x^2) \]

\[ 192 = 4(64 - x^2) \]

Разделим на 4:

\[ 48 = 64 - x^2 \]

\[ x^2 = 64 - 48 \]

\[ x^2 = 16 \]

\[ x = \sqrt{16} = 4 \]

Скорость течения реки равна 4 км/ч. (Отрицательный корень \( x = -4 \) не имеет физического смысла).

Ответ: 4 км/ч.