№ 5. Биссектриса ∠A прямоугольника ABCD делит сторону BC на части 4 см и 8 см. Найти периметр прямоугольника.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла A со стороной BC через E. В треугольнике ABC по теореме о биссектрисе \(BE/EC=AB/AC\). Поскольку AC — гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, \(AB

Из теоремы о биссектрисе: \(AB/AC=4/8=1/2\), поэтому \(AC=2AB\). По теореме Пифагора:

\(AC^2=AB^2+BC^2\), значит \((2AB)^2=AB^2+12^2\).

Отсюда \(3AB^2=144\), \(AB=4\sqrt{3}\) см. Периметр прямоугольника:

\(P=2(AB+BC)=2(4\sqrt{3}+12)=24+8\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(24+8\sqrt{3}\) см.