№ 5. Биссектриса угла D параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, BM : MC = 4 : 3. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 28 см.

По отношению \(BM:MC=4:3\) сторона BC состоит из 7 равных частей. Одна часть равна \(28:7=4\) см, поэтому \(BM=4\cdot4=16\) см.

Поскольку \(DM\) — биссектриса угла D и \(BC\parallel AD\), углы \(ADM\) и \(DMB\) равны. По определению биссектрисы \(\angle ADM=\angle MDB\). Значит, в треугольнике DMB углы при D и M равны, поэтому \(DB=BM=16\) см.

В прямоугольном треугольнике DAB гипотенуза DB равна 16 см, а катет AB равен DC, при этом по геометрическим свойствам этой конфигурации получаем \(DC=12\) см: из \(BM=16\), \(BC=28\) следует \(MC=12\), а равенство соответствующих отрезков задаёт \(DC=MC\).

Тогда периметр: \(2(BC+DC)=2(28+12)=80\) см.

Ответ: 80 см.