5. Бригада железнодорожников в первый день отремонтировала $$\frac{2}{9}$$ всего участка пути, во второй день — $$\frac{1}{7}$$ оставшегося участка пути, а в третий — остальные 6 км. Сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня?

Решение:

1. Определим, какую часть пути отремонтировали за первые два дня:

   Сначала найдем, какая часть пути осталась после первого дня: \[ 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \text{ (пути)} \]

   Затем найдем, какую часть пути отремонтировали во второй день: \[ \frac{7}{9} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{9} \text{ (пути)} \]

   Теперь найдем, какую часть пути отремонтировали за первые два дня: \[ \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \text{ (пути)} \]

2. Определим, какую часть пути отремонтировали в третий день:

   \[ 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \text{ (пути)} \]

3. Рассчитаем общую длину участка пути:

   Известно, что $$\frac{2}{3}$$ участка равны 6 км. Найдем длину всего участка:

   \[ 6 : \frac{2}{3} = 6 \times \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ (км)} \]

4. Рассчитаем, сколько километров пути отремонтировала бригада за три дня (это и есть общая длина участка):

   \[ \text{первый день: } 9 \times \frac{2}{9} = 2 \text{ (км)} \]

   \[ \text{второй день: } (9-2) \times \frac{1}{7} = 7 \times \frac{1}{7} = 1 \text{ (км)} \]

   \[ \text{третий день: } 6 \text{ (км)} \]

   \[ \text{Всего: } 2 + 1 + 6 = 9 \text{ (км)} \]

Ответ: 9 км