5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что < BDC = 84°, < BDA=24°

Краткое пояснение:

• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.

Решение:

• Угол BDC = 84°. Этот угол опирается на дугу BC. Следовательно, дуга BC = 2 * 84° = 168°.
• Угол BDA = 24°. Этот угол опирается на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 2 * 24° = 48°.
• Угол CAD опирается на дугу CD.
• Угол CBD опирается на дугу CD.
• Угол BAC опирается на дугу BC.
• Угол BDC опирается на дугу BC.
• Угол ADB опирается на дугу AB.
• Угол ACB опирается на дугу AB.
• Угол CAD = Угол CBD (опираются на дугу CD)
• Угол BAC = Угол BDC = 84° (опираются на дугу BC)
• Угол ACB = Угол ADB = 24° (опираются на дугу AB)
• Угол ABC = Угол ABD + Угол DBC
• Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC = 24° + 84° = 108°
• Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
• Угол ABC + Угол ADC = 180°
• Угол ABC + 108° = 180°
• Угол ABC = 180° - 108° = 72°
• Угол BAD + Угол BCD = 180°
• Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 84° + Угол CAD
• Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = 24° + Угол ACD
• Угол ABC = 72°. Угол ABC = Угол ABD + Угол DBC.
• Найдем Угол CAD: Угол ABC = 72°. Угол BAC = 84°. Это противоречие, так как Угол ABC не может быть меньше Угла BAC.
• Проверим условие. Дано: < BDC = 84°, < BDA = 24°.
• Дуга BC = 2 * < BDC = 2 * 84° = 168°.
• Дуга AB = 2 * < BDA = 2 * 24° = 48°.
• Угол BAC = 1/2 * Дуга BC = 1/2 * 168° = 84°.
• Угол BCA = 1/2 * Дуга AB = 1/2 * 48° = 24°.
• Угол ADC = < ADB + < BDC = 24° + 84° = 108°.
• Угол ABC = 180° - Угол ADC = 180° - 108° = 72°.
• Угол ABC = Угол ABD + Угол DBC.
• Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 84° + Угол CAD.
• Угол BAD = 180° - Угол ABC = 180° - 72° = 108°.
• 108° = 84° + Угол CAD.
• Угол CAD = 108° - 84° = 24°.
• Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = 24° + Угол ACD.
• Угол BCD = 180° - Угол BAD = 180° - 108° = 72°.
• 72° = 24° + Угол ACD.
• Угол ACD = 72° - 24° = 48°.
• Проверим: Угол CAD = 24° (опирается на дугу CD). Угол CBD = 24° (опирается на дугу CD).
• Угол ACD = 48° (опирается на дугу AB). Угол ABD = 24° (опирается на дугу AD).
• Угол ADB = 24° (опирается на дугу AB).
• Дуга AD = 2 * Угол ABD = 2 * 24° = 48°.
• Сумма дуг: Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга DA = 48° + 168° + Дуга CD + 48° = 360°.
• 264° + Дуга CD = 360°.
• Дуга CD = 360° - 264° = 96°.
• Угол CAD = 1/2 * Дуга CD = 1/2 * 96° = 48°.
• Это противоречит тому, что Угол CAD = 24°.
• Вернемся к исходным данным.
• Угол BDC = 84° (опирается на дугу BC).
• Угол BDA = 24° (опирается на дугу AB).
• Угол BAC = Угол BDC = 84° (опираются на дугу BC).
• Угол BCA = Угол BDA = 24° (опираются на дугу AB).
• Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC = 24° + 84° = 108°.
• Угол ABC = 180° - Угол ADC = 180° - 108° = 72°.
• Угол BAD = 180° - Угол ABC = 180° - 72° = 108°.
• Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 84° + Угол CAD = 108°.
• Угол CAD = 108° - 84° = 24°.
• Угол BCD = 180° - Угол BAD = 180° - 108° = 72°.
• Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = 24° + Угол ACD = 72°.
• Угол ACD = 72° - 24° = 48°.
• Проверим:
• Угол CAD = 24°. Опирается на дугу CD. Дуга CD = 2 * 24° = 48°.
• Угол CBD = Угол CAD = 24° (опираются на дугу CD).
• Угол ACD = 48°. Опирается на дугу AB. Дуга AB = 2 * 48° = 96°.
• Но по условию Угол BDA = 24°, значит Дуга AB = 2 * 24° = 48°.
• Есть противоречие в условии задачи.
• Предположим, что Угол ADB = 24°, а не Угол BDA. Это одно и то же.
• Если допустить, что < BDC = 84° и < CDB = 24°, то < BDA = < CDB = 24° ?
• Пусть < BDC = 84°, < BDA = 24°.
• Дуга BC = 2 * 84° = 168°.
• Дуга AB = 2 * 24° = 48°.
• Угол CAD = Угол CBD (опираются на дугу CD).
• Угол BAC = Угол BDC = 84° (опираются на дугу BC).
• Угол BCA = Угол BDA = 24° (опираются на дугу AB).
• Угол ABC = 180° - (Угол BAC + Угол BCA) = 180° - (84° + 24°) = 180° - 108° = 72°.
• Угол ADC = 180° - Угол ABC = 180° - 72° = 108°.
• Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC = 24° + 84° = 108°. Это совпадает.
• Угол BAD = 180° - Угол ADC = 180° - 108° = 72°.
• Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 84° + Угол CAD = 72°. Это невозможно, так как 84° > 72°.
• Исправляем: Угол BAD = 108°, Угол ABC = 72°.
• Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 84° + Угол CAD = 108°.
• Угол CAD = 108° - 84° = 24°.
• Угол BCD = 180° - Угол BAD = 180° - 108° = 72°.
• Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = 24° + Угол ACD = 72°.
• Угол ACD = 72° - 24° = 48°.
• Угол CBD = Угол CAD = 24°.
• Угол ABD = Угол ABC - Угол CBD = 72° - 24° = 48°.
• Угол ABD опирается на дугу AD. Значит, дуга AD = 2 * 48° = 96°.
• Проверим сумму дуг: Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга DA = 48° + 168° + 48° + 96° = 360°.
• Все сходится.

Финальный ответ:

Ответ: Угол CAD = 24°, Угол CBD = 24°, Угол BAC = 84°, Угол BCA = 24°, Угол ABC = 72°, Угол ADC = 108°, Угол BAD = 108°, Угол BCD = 72°, Угол ACD = 48°, Угол ABD = 48°.