5. Дана описанная равнобедренная трапеция с основаниями 1 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Анализ условия:

• Трапеция равнобедренная и описанная.
• Основания: a = 9 см (большее), b = 1 см (меньшее).

2. Свойство описанной трапеции:

Для описанной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон:

a + b = c + d

Так как трапеция равнобедренная, c = d.

9 + 1 = c + c

10 = 2c

c = 5 см. Каждая боковая сторона равна 5 см.

3. Нахождение площади трапеции:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = ((a + b) / 2) * h

где a и b — основания, h — высота.

Нам нужно найти высоту h.

Проведём высоту из конца меньшего основания (например, из вершины B) к большему основанию AD. Опустим перпендикуляр BK на AD. Тогда:

AK = (a - b) / 2

AK = (9 - 1) / 2 = 8 / 2 = 4 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. У нас есть гипотенуза AB = 5 см и катет AK = 4 см. По теореме Пифагора найдём высоту BK (h):

h^2 + AK^2 = AB^2

h^2 + 4^2 = 5^2

h^2 + 16 = 25

h^2 = 25 - 16

h^2 = 9

h = sqrt(9) = 3 см.

4. Вычисление площади:

Теперь, когда у нас есть высота, можем найти площадь:

S = ((a + b) / 2) * h

S = ((9 + 1) / 2) * 3

S = (10 / 2) * 3

S = 5 * 3

S = 15 кв. см.

Ответ: 15 кв. см