5. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 18. Точка Q — середина ребра A₁B₁. Постройте сечение призмы плоскостью ACQ и найдите его периметр. Представьте найденный периметр в виде P = a + b√c, где c — простое число, и в ответе запишите значение числа a + b + c.

Сечение проходит через ребро AC основания. На боковой грани ABB₁A₁ плоскость ACQ пересекает грань по отрезку AQ. Обозначим через R середину ребра B₁C₁: плоскость пересекает грань BCC₁B₁ по отрезку CR, а верхнюю грань — по QR. Таким образом, сечение — четырёхугольник ACRQ.

AC = 18. Поскольку призма правильная, боковые грани — квадраты со стороной 18. На грани BCC₁B₁ отрезок CR соединяет вершину C с серединой противоположной стороны B₁C₁. Его длина равна √(9² + 18²) = 9√5. Аналогично AQ = 9√5.

На верхнем основании Q и R — середины сторон A₁B₁ и B₁C₁ равностороннего треугольника A₁B₁C₁. Поэтому QR — средняя линия этого треугольника, QR = 18 / 2 = 9.

Периметр сечения: P = AC + CR + RQ + QA = 18 + 9√5 + 9 + 9√5 = 27 + 18√5. Следовательно, a = 27, b = 18, c = 5, и a + b + c = 50.

Ответ: 50.