5. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми показателями и сравнить их по величине: а) \(4^2\) и \(2^8\); б) \(4^{300}\) и \(3^{400}\); в) \((6^1)^4\) и \((4^3)^6\).

Используем свойства степеней: \((a^m)^n=a^{mn}\), а также представим числа как степени простых оснований.

а) \(4^2=(2^2)^2=2^4\), поэтому сравним \(2^4\) и \(2^8\). При одинаковом основании больше степень с большим показателем: \(2^4<2^8\).

б) \(4^{300}=(4^3)^{100}=64^{100}\), а \(3^{400}=(3^4)^{100}=81^{100}\). Так как \(64<81\), получаем \(64^{100}<81^{100}\), то есть \(4^{300}<3^{400}\).

в) \((6^1)^4=6^4\), \((4^3)^6=4^{18}=(4^{4.5})^4\). Сравним основания степеней с показателем 4: \(6\) и \(4^{4.5}=512\). Так как \(6<512\), то \(6^4<(4^{4.5})^4=4^{18}\).

Ответ: а) \(4^2<2^8\); б) \(4^{300}<3^{400}\); в) \((6^1)^4<(4^3)^6\).