5. Дано: AB = BC (рис. 5.74). Найти: ∠B.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный. Следовательно, ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим треугольник ABD. Угол ∠ADC = 75° является внешним углом для этого треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов. Следовательно, ∠ADC = ∠BAD + ∠ABD.
4. Из рисунка видно, что ∠BAD = ∠BAC.
5. Угол ∠ABD является частью угла ∠ABC (который мы ищем, ∠B).
6. Пусть ∠BAC = ∠BCA = x.
7. Тогда ∠BAD = x.
8. Угол ∠ABC = ∠B.
9. В треугольнике ABD: ∠ADC = 75°.
10. Угол ∠ADB является смежным с ∠ADC, поэтому ∠ADB = 180° - 75° = 105°.
11. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°.
12. Подставляем известные значения: x + ∠ABD + 105° = 180°.
13. ∠ABD = 180° - 105° - x = 75° - x.
14. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
15. Подставляем известные значения: x + ∠ABC + x = 180°.
16. ∠ABC = 180° - 2x.
17. Угол ∠ABC состоит из ∠ABD и ∠DBC. На рисунке видно, что точка D лежит на стороне AC. Однако, в условии задачи сказано, что D - точка на стороне AC, но на рисунке D - точка на стороне BC. Предположим, что D - точка на стороне BC. Тогда AD - отрезок.
18. Если D - точка на BC, то ∠ADB не является внешним углом.
19. Перечитаем задачу и посмотрим на рисунок. Рисунок 5.74 показывает точку D на стороне AC. Угол ∠ADC = 75°. AB = BC.
20. Равнобедренный треугольник ABC: ∠BAC = ∠BCA.
21. Рассмотрим треугольник ABD. Угол ∠ADB является смежным с ∠ADC. ∠ADB = 180° - 75° = 105°.
22. В треугольнике ABD: ∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°.
23. ∠BAD + ∠ABD + 105° = 180°.
24. ∠BAD + ∠ABD = 75°.
25. Так как AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA. Пусть ∠BAC = ∠BCA = x.
26. ∠BAD = x.
27. Значит, x + ∠ABD = 75°, откуда ∠ABD = 75° - x.
28. Угол ∠B (∠ABC) = ∠ABD.
29. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.
30. x + ∠ABC + x = 180°.
31. ∠ABC = 180° - 2x.
32. Мы имеем два выражения для ∠ABC (или его части): ∠ABC = ∠ABD = 75° - x, и ∠ABC = 180° - 2x.
33. Приравниваем: 75° - x = 180° - 2x.
34. 2x - x = 180° - 75°.
35. x = 105°.
36. Это значение x (105°) не может быть углом треугольника, так как сумма углов будет больше 180° (105° + 105° + ∠ABC).
37. Давайте пересмотрим рисунок. Угол 75° отмечен как ∠BDC.
38. Если ∠BDC = 75°, тогда ∠ADB = 180° - 75° = 105°.
39. AB = BC, значит, ∠BAC = ∠BCA. Обозначим этот угол как x.
40. В треугольнике ABC: ∠ABC + x + x = 180°, => ∠ABC = 180° - 2x.
41. Рассмотрим треугольник BDC. Угол ∠BDC = 75°.
42. Угол ∠CBD = ∠ABC = 180° - 2x.
43. Угол ∠BCD = ∠BCA = x.
44. Сумма углов в треугольнике BDC: ∠CBD + ∠BCD + ∠BDC = 180°.
45. (180° - 2x) + x + 75° = 180°.
46. 255° - x = 180°.
47. x = 255° - 180° = 75°.
48. Итак, ∠BAC = ∠BCA = 75°.
49. Тогда ∠ABC = 180° - 2 * 75° = 180° - 150° = 30°.
50. Проверим: В треугольнике BDC: ∠CBD = 30°, ∠BCD = 75°, ∠BDC = 75°. Сумма = 30° + 75° + 75° = 180°. Это верно.

Ответ: ∠B = 30°