№5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: B(-2; -4), C(2; -4) и D(2; 2). 1) Постройте этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины А и координаты точки пересечения диагоналей. 3) Вычислите площадь и периметр этого прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника:

Отметим точки B(-2; -4), C(2; -4), D(2; 2) на координатной плоскости.

2. Нахождение координат вершины А и точки пересечения диагоналей:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Отрезок BC параллелен оси X, так как у точек B и C одинаковая координата Y (-4). Длина BC = |2 - (-2)| = 4.

Отрезок CD параллелен оси Y, так как у точек C и D одинаковая координата X (2). Длина CD = |2 - (-4)| = 6.

Вершина А будет иметь координаты, такие что AB параллельна CD и AD параллельна BC.

• Координата X вершины А будет такой же, как у B: -2.
• Координата Y вершины А будет такой же, как у D: 2.

Следовательно, координаты вершины А: \( (-2, 2) \).

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали BD.

Координаты середины отрезка \( (x_m, y_m) \) равны \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).

Для диагонали BD (точки B(-2, -4) и D(2, 2)):

\( x_m = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

\( y_m = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Координаты точки пересечения диагоналей: \( (0, -1) \).

3. Вычисление площади и периметра:

Длина стороны BC (ширина) = 4 см.

Длина стороны CD (длина) = 6 см.

Площадь прямоугольника: \( S = длина \times ширина \) = \( 6 \times 4 = 24 \) см².

Периметр прямоугольника: \( P = 2 \times (длина + ширина) \) = \( 2 \times (6 + 4) = 2 \times 10 = 20 \) см.

Ответ: 1) Построен прямоугольник ABCD. 2) Координаты вершины А: (-2, 2). Координаты точки пересечения диагоналей: (0, -1). 3) Площадь: 24 см², Периметр: 20 см.