5. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A(-2;-4), D(4;-4) и С(4; 2). 1. Начертите этот прямоугольник. 2. Найдите координаты вершины В. 3. Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника ABCD:

Отмечаем точки A(-2;-4), D(4;-4), C(4; 2) на координатной плоскости. Так как ABCD — прямоугольник, стороны AD и CD перпендикулярны. Сторона AD параллельна оси x, ее длина равна \( |4 - (-2)| = 6 \) см. Сторона CD параллельна оси y, ее длина равна \( |2 - (-4)| = 6 \) см.

Примечание: Для полного решения необходимо построить чертеж на координатной плоскости.

2. Нахождение координат вершины В:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Значит, AB параллельна CD и равна ей, а BC параллельна AD и равна ей.

Координаты точки B можно найти, учитывая, что вектор AB равен вектору DC, или вектор BC равен вектору AD.

Используя вектор AD = (4 - (-2); -4 - (-4)) = (6; 0):

B = (C_x - AD_x; C_y - AD_y) = (4 - 6; 2 - 0) = (-2; 2).

Или используя вектор DC = (4 - 4; -4 - 2) = (0; -6):

B = (A_x + DC_x; A_y + DC_y) = (-2 + 0; -4 + (-6)) = (-2; -10). Это неверно.

Давайте используем, что AB параллельна DC, поэтому x-координата B будет как у A, а y-координата B будет как у C.

B(x_B, y_B). Вектор AB = (x_B - (-2), y_B - (-4)). Вектор DC = (4-4, -4-2) = (0, -6). Это не помогает.

Вектор AD = (4 - (-2), -4 - (-4)) = (6, 0).

Вектор BC = (4 - x_B, 2 - y_B). Так как BC || AD, то BC = AD. Значит, 4 - x_B = 6 и 2 - y_B = 0. Отсюда x_B = -2, y_B = 2.

Таким образом, координаты вершины В: (-2; 2).

3. Нахождение координат точки пересечения диагоналей прямоугольника:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали AC.

Середина AC = \((\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}) = (\frac{-2 + 4}{2}, \frac{-4 + 2}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}) = (1, -1)\).

4. Вычисление площади и периметра прямоугольника:

Длина стороны AD = \(|4 - (-2)| = 6\) см.

Длина стороны CD = \(|2 - (-4)| = 6\) см.

Площадь прямоугольника: \(S = \text{длина} \times \text{ширина} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2\).

Периметр прямоугольника: \(P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина}) = 2 \times (6 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см}\).

Ответ: 2. Координаты вершины В: (-2; 2). 3. Координаты точки пересечения диагоналей: (1; -1). 4. Площадь: 36 см², Периметр: 24 см.