5) Диагональ АС ромба АВCD равна 16, a tg∠BCA=0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Привет! Давай решим эту задачку про ромб и вписанную окружность.

Что мы знаем о ромбе?

• Все стороны равны.


• Диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.


• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Что нам дано?

• Диагональ AC = 16.


• \(\text{tg}\angle BCA = 0.75\).

Шаг 1: Найдем половину диагонали AC.

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей будет O. Тогда AO = OC = AC / 2 = 16 / 2 = 8.

Шаг 2: Найдем другую диагональ BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC (так как диагонали ромба перпендикулярны). В этом треугольнике:

• Катет OC = 8.


• Угол BCA (или угол BCO) = \(\angle BCA\).


• Нам дан \(\text{tg}\angle BCA = 0.75\). По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

\[ \text{tg}(\angle BCA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OB}{OC} \]

Подставим известные значения:

\[ 0.75 = \frac{OB}{8} \]

Найдем OB:

\[ OB = 0.75 \times 8 \]

\[ OB = 6 \]

Теперь найдем всю диагональ BD:

BD = 2 * OB = 2 * 6 = 12.

Шаг 3: Найдем сторону ромба AB.

В прямоугольном треугольнике BOC:

• OC = 8


• OB = 6


• По теореме Пифагора: \(AB^2 = OC^2 + OB^2\)

\[ AB^2 = 8^2 + 6^2 \]

\[ AB^2 = 64 + 36 \]

\[ AB^2 = 100 \]

\[ AB = \sqrt{100} \]

\[ AB = 10 \]

Значит, сторона ромба равна 10.

Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности.

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба, деленной пополам. Площадь ромба можно найти двумя способами:

• Через диагонали: \(S = \frac{1}{2} \times AC \times BD\)


• Через сторону и высоту: \(S = a \times h\), где a — сторона ромба, h — высота ромба.

Найдем площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 8 \times 12 = 96 \]

Теперь найдем высоту ромба:

\[ 96 = 10 \times h \]

\[ h = \frac{96}{10} = 9.6 \]

Радиус вписанной окружности (r) равен половине высоты:

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{9.6}{2} = 4.8 \]

Ответ: 4.8