5. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Основания трапеции равны 2 и 5. Найдите высоту трапеции.

Краткое пояснение:

В равнобедренной трапеции диагональ, основание и боковая сторона образуют треугольник. Угол между диагональю и основанием, а также длины оснований, позволяют нам использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного высотой, диагональю и частью большего основания.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим трапецию ABCD, где AD — большее основание (5), BC — меньшее основание (2). Диагональ AC образует угол 45° с основанием AD (∠ CAD = 45°).
2. Шаг 2: Проведем высоту BH из вершины B на основание AD.
3. Шаг 3: В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, то большее основание разделится на отрезки, где средний равен меньшему основанию, а два крайних равны друг другу.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник ACD. Проведем высоту CE из вершины C на основание AD.
5. Шаг 5: В прямоугольном треугольнике ACE, ∠ CAE = 45°. Так как ∠ CEA = 90°, то ∠ ACE = 180° - 90° - 45° = 45°.
6. Шаг 6: Следовательно, треугольник ACE является равнобедренным прямоугольным треугольником, то есть CE = AE.
7. Шаг 7: В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины меньшего основания на большее, то большее основание разделится на три отрезка. Пусть H — точка на AD, такая что BH ⊥ AD. Тогда AH = ED = (AD - BC) / 2.
8. Шаг 8: AH = ED = (5 - 2) / 2 = 3 / 2 = 1.5.
9. Шаг 9: В нашем случае, мы рассматриваем треугольник ACD. Если провести высоту CE, то точка E лежит на AD.
10. Шаг 10: Мы знаем ∠ CAD = 45°.
11. Шаг 11: Также, AD = 5.
12. Шаг 12: Важно понимать, что высота, опущенная из C, и отрезок AE на основании AD связаны с ∠ CAD.
13. Шаг 13: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой (h), диагональю (d) и частью большего основания.
14. Шаг 14: В прямоугольном треугольнике ACE, где CE = h, AE = ?, AC = d, ∠ CAE = 45°.
15. Шаг 15: Мы не знаем длину диагонали AC.
16. Шаг 16: Однако, мы знаем, что ∠ CAD = 45° и AE = 1.5.
17. Шаг 17: В прямоугольном треугольнике ACE, tg(∠ CAD) = CE / AE.
18. Шаг 18: tg(45°) = h / 1.5.
19. Шаг 19: Так как tg(45°) = 1, то 1 = h / 1.5.
20. Шаг 20: Отсюда, h = 1.5.
21. Шаг 21: Проверим, что отрезок AE действительно 1.5. AD = 5, BC = 2. AH = ED = (5-2)/2 = 1.5.
22. Шаг 22: Отрезок AE в треугольнике ACD равен AD - ED = 5 - 1.5 = 3.5.
23. Шаг 23: То есть, в прямоугольном треугольнике ACE, AE = 3.5, CE = h, ∠ CAE = 45°.
24. Шаг 24: tg(45°) = CE / AE = h / 3.5.
25. Шаг 25: 1 = h / 3.5.
26. Шаг 26: h = 3.5.
27. Шаг 27: Проверим, какой угол образует диагональ AC с основанием BC.
28. Шаг 28: В равнобедренной трапеции, если угол при большем основании 45°, то угол при меньшем основании будет 135°.
29. Шаг 29: Угол между диагональю AC и основанием BC равен ∠ ACB.
30. Шаг 30: Так как AD || BC, то ∠ ACB = ∠ CAD = 45°.
31. Шаг 31: Следовательно, мы можем использовать треугольник, образованный высотой из C, отрезком AE на AD, и диагональю AC.
32. Шаг 32: В этом треугольнике CE = h, AE = AD - ED = 5 - 1.5 = 3.5.
33. Шаг 33: ∠ CAE = 45°.
34. Шаг 34: tg(45°) = CE / AE.
35. Шаг 35: 1 = h / 3.5.
36. Шаг 36: h = 3.5.

Ответ: 3.5