5. Диагональ трапеции ABCD делит ее на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найдите среднюю линию трапеции, если S_ABC = 25 см².

Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то AB = BC. Площадь треугольника \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC\). Так как AB=BC, \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB^2\). Из условия (S_{ABC} = 25 см^2), тогда

\(25 = \frac{1}{2} AB^2\)
(50 = AB^2)
(AB = sqrt{50} = 5sqrt{2})
Так как треугольник BCD равнобедренный, и угол C = 90, то BC = CD. Из этого CD= (5sqrt{2}). Так как в трапеции ABCD углы A и D тоже будут по 45 градусов, то получается, что AD = 2 * CD = (10sqrt{2})
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т.е.
\(l = \frac{BC + AD}{2}\)
\(l = \frac{5sqrt{2} + 10sqrt{2}}{2} = \frac{15sqrt{2}}{2} = 7.5sqrt{2}\)
Ответ: (7.5sqrt{2}) см