5) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке M, BK ⟂ AD. Найдите ∠AOB, если известно, что AC = 2 BK.

Обозначим через O точку пересечения BK и AC, как на рисунке. Пусть AC = 2a, а BD = 2b. Разместим ромб в координатах: A = (−a, 0), C = (a, 0), B = (0, b), D = (0, −b). Тогда диагонали ромба перпендикулярны.

Прямая AD имеет направляющий вектор (a, −b). Расстояние от B до AD равно BK, поэтому

\(BK = \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

По условию AC = 2BK, то есть 2a = 2BK. Следовательно, \(a = \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\), откуда \(a^2 = 3b^2\).

Поскольку BK ⟂ AD, наклон BK равен a/b. На оси AC, где y = 0, получаем координату точки O: \(O = (−b^2/a, 0)\). Из \(a^2 = 3b^2\) следует, что \(O = (−a/3, 0)\).

Тогда векторы \(\overrightarrow{OA} = (−2a/3, 0)\) и \(\overrightarrow{OB} = (a/3, b)\). Их скалярное произведение равно \(−2a^2/9\), а длины обоих векторов равны \(2a/3\). Поэтому \(\cos \angle AOB = −1/2\), и \(\angle AOB = 120^\circ\).

Ответ: 120°.