6) В квадрате ABCD проведены два взаимно перпендикулярных отрезка AK и MP. Докажите, что AK = MP.

Обозначим сторону квадрата через a, а горизонтальное расстояние от A до проекции K на сторону AB — через x. Пусть вертикальное расстояние от M до стороны AD равно y.

Тогда горизонтальное и вертикальное смещения отрезка AK равны x и a, а отрезка MP — a и y. Из условия перпендикулярности этих отрезков следует, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю:

(x; a) · (a; −y) = 0.

Следовательно, ax − ay = 0, откуда x = y.

По теореме Пифагора:

AK² = x² + a², MP² = a² + y².

Так как x = y, получаем AK² = MP². Длины отрезков положительны, поэтому AK = MP.

Что и требовалось доказать.