5) Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке M, BK ⟂ AD. Найдите ∠AOB, если известно, что AC = 2 BK. (O — точка пересечения BK и AC.)

Обозначим через O точку пересечения BK и AC, как на рисунке. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой M пополам.

Пусть AC = 2a, а BM = b. Введём координаты: M(0; 0), A(−a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; −b). Тогда прямая AD имеет уравнение bx + ay + ab = 0.

Так как BK перпендикулярна AD, длина BK равна расстоянию от точки B до прямой AD:

BK = 2ab / √(a² + b²).

По условию AC = 2BK, то есть 2a = 4ab / √(a² + b²). Отсюда √(a² + b²) = 2b, поэтому a² = 3b².

Направляющий вектор BK перпендикулярен AD, поэтому можно взять его равным (b; a). При движении от B до AC вертикальная координата уменьшается на b, значит, горизонтальное смещение по модулю равно b² / a = a / 3. Следовательно, у прямой OB отношение вертикального и горизонтального смещений равно b : (a / 3) = 1 : √3.

Так как OA лежит на AC, угол между OA и OB равен 60°.

Ответ: ∠AOB = 60°.